مقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی

مقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی در 29 صفحه ورد قابل ویرایش

دسته بندی	ریاضی
بازدید ها	0
فرمت فایل	doc
حجم فایل	209 کیلو بایت
تعداد صفحات فایل	29

فروشنده فایل

کد کاربری 6017

تمام فایل ها

مقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائی در 29 صفحه ورد قابل ویرایش

فهرست

عنوان

پیش گفتار .........................................................................................................

خلاصه‌ی مطالب ................................................................................................

1فصل اول

1-1مقدمه .........................................................................................................

1-2پیش نیازها ..................................................................................................

تعاریف ...................................................................................

قضیه ها....................................................................................

2فصل دوم

2-2مرکز ...........................................................................................................

2-3 میانه ..........................................................................................................

2-4 مجموعه های غالب ....................................................................................

منابع ...........................................................................................................................


خلاصه‌ی مطالب

برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم که بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراین‌جا خلاصه‌ای از مطالبی که مطالعه خواهید کرد آورده شده است.

دریک حلقه‌ی جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند که درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است که اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می‌شود که وقتی R آرتینی می‌باشد اجتماع مرکز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی که مرکز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین کرد و نشان داده می‌شود که اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز آن است. زمانی که R آرتینی باشد با به کاربردن عناصری از مرکز می‌توان یک مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود که برای حلقه‌ی متناهی ، که F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزای R است. و هم‌چنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان می‌شود.

واژه های کلیدی

مجموعه های مرکزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر


فصل اول

1-مقدمه

حلقه‌ی جابجایی و یکدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings Ston (1999) و Anderson بیان شد که تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Anderson بیان شد که همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.

و Anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ارائه دادند. این ساختار های گرافیکی به شکل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، که در ادامه به آن می پردازیم.

درطول این پژوهش برآنیم که نتایجی را روی حلقه های یکدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممکن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های کاربردی از مرکزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود که شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه نوتری و جابجایی و یکدار 0، 1، 2 می‌باشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مرکزی (مرکز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یکدار به کاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می کنیم که از جمله‌ی آن ها قطر و کران ها روی تعداد یال های گراف می‌باشد.

2-پیش نیازها

بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است که آن را باید پیش نیاز نامید:

تعریف 1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری که xy=0 به عبارت دیگر

تعریف 2.2.1عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یک مقسوم علیه صفر (zero dirisor) گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری که xy=0.

مجموعه‌ی مقسوم علیه های صفر حلقه‌ی R را با Z(R) نشان می دهیم که به صورت زیر می‌باشد:



تعریف 3.2.1عنصر راعنصر پوچ توان R (nillpotent) می نامیم هرگاه موجود باشد به طوری که xn=0.

تذکر: بدیهی است که هر عنصر پوچ توان یک مقسوم علیه صفر حلقه می‌باشد.

تعریف 4.2.1 پوچ رادیکال (nillradical) حلقه‌ی R ایده آلی شامل همه‌ی عناصر پوچ توان حلقه R می باشد که به صورت nill (R) نمایش داده می شود.

تعریف 5.2.1اشتراک همه‌ی ایده آل های ماکسیمال حلقه‌ی R را رادیکال جیکوبسن R (Jacobson) می نامیم و با J(R) نمایش می دهیم.

تعریف 6.2.1 حلقه‌ی R راتحویل یافته یا تقلیل یافته (reduced) می نامیم هرگاه عنصر پوچ توان غیرصفر نداشته باشد.

اکنون مروری داریم بر بعضی از تعریفات و نمادهای نظریه گراف:







حال فرض کنیم حلقه تحویل ناپذیر باشد پس .

فرض کنیم که Pi ها ایده آل های اول مینمال می‌باند. به ازای هر i=1,….,N . وجود دارد به طوری که Pi=ann(ai). در نظر می گیریم:

یک مسیر می‌باشد x-aj-7 و یک مسیر است،

پس خروج از مرکز v حداکثر 2 است پس شعاع حداکثر 2 می باشد.

با به کاربردن نتایج بالا یک نتیجه از تئوری حلقه ها را در ادامه بدست می آوریم:

نتیجه 11.1.2 فرض کنید R یک حلقه ی جابجایی و یکدار نوتری باشد و R حوزه صحیح نباشد آن گاه یک به طوری xy=0 یا می باشد برای هر .


2.2-مرکز

ثابت شد که شعاع گراف مقسوم علیه صفر از یک حلقه ی جابجایی 0، 1و 2 است. مشخص کردن مرکز گراف هدف بعدی می باشد. همانطور که از نتایج قبل انتظار می رود دانستن دو نکته زیر الزامی است.

اگرشعاع گراف مقسوم علیه صفر، صفر باشد آنگاه گراف یک رأس دارد. پس مرکز دارای نتها یک رأس می باشد.

اگرشعاع گراف مقسوم علیه صفر، 1 باشد آن گاه عناصر مرکز دقیقاً همان عناصر با خروج از مرکز 1 می باشند.

ولم 1.2.2 فرض کنید (R,M) یک حلقه‌ی جابجایی و یکدار آرتینییی و موضعی باشد که حوزه صحیح نیست اگر x یک عضو از مرکز باشد آن گاه x2=0 می باشد.

برهان: R یک حقله‌ی آرتینییی است پس وجود دارد به طوری که Mk={0}. چون هر عضو غیر صفر Mk-1 دارای خروج از مرکز 1 می باشد پس می باشد.

برهان خلف : فرض می کنیم x درمرکز گراف باشد و و زیرا در غیر این صورت که یک تناقض می باشد. پس و بنابراین x2 نیز عضو دیگری از مرکز گراف می باشد. از آن‌جایی که e(x)=1 و x3=x(x2)=0 پس زیرا درغیر این صورت یعنی اگر x2+x=0 پس x2=(-x2)2=x4=0 که این یک تناقض است. بنابراین x2+x نیز عضوی دیگر از از مرکز گراف می باشد.

قضیه 2.2.2 فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی و یکدار نوتری باشد به طوری که شعاع ، 0یا 1 باشد آن گاه مرکز :

(A) اگر z(R) یک ایده ال باشد، است.

(B) اگر ، {(0,1),(1,0)} است.

(C) اگر که A یک حوزه صحیح نامساوی می باشد، {(1,0)} است.

نتیجه 3.2.2 فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی و یکدار نوتری باشد به طوری که شعاع 0یا 1 باشد آن‌گاه مرکز :

(A) اگر R موضعی با ایده ال ماکسیمال M باشد، (0-z(R)-{0} است.

(B) اگر ، {(0,1),(1,0)} است.

(C) اگر ، که F میدان متناهی مخالف است، {(1,0)} می باشد.

با توجه به مفروضات بالا انتظار داریم درمواردی که مرکز اجتماع {0} درگراف یک ایده ال باشد همچنین در تمامی موارد مرکز اجتماع صفر اجتماعی از ایده ال های پوچ ساز ماکسیمال می باشد. درمورد (A) مرکز اجتماع {0}، (0,M)=ann(M) درمورد (B و درمورد (C) ann({0}A). علاوه بر این قابل توجه است که درموارد (B) و (C) رادیکال جیکوبسون R صفر می باشد. اگر R موضعی و آریتنی باشد آن گاه به عنوان مثال اگر مرکزاست. اگر ، {9x,18x} می باشد. حال قبل از بررسی ویژگی های کلی یک حالت خاص را بررسی می کنیم.

قضیه 4.2.2 [8;1-14] فرض کنید R یک حلقه‌ی جابجایی باشد. اگر که S,T حوزه صحیح می باشند آن گاه یک گراف دو بخشی کامل است.

قضیه 5.2.2 اگر R یک حلقه‌ی جابجایی باشد و که S,T حوزه‌ی صحیح‌اند و هیچکدام با یکریخت نیستند. آن گاه شعاع ، 2 می باشد و مرکز مجموعه ی تمام رأس های می باشد.

دراین جا مرکز اجتماع صفر یک ایده آل نیست اما اجتماعی از پوچ سازها از دو ایده ال ماکسیمال زیر می باشد. از طرفی دراین مورد J(R)={0}.

قضیه 6.2.2 فرض کنید m,n دو عدد صحیح مثبت باشند و
که هر Ri یک حلقه‌ی موضعی جابجایی و یکدار آرتینی است که میدان نیست و هر F­i یک میدان می باشد. برای هر j=1,…,m ایده آل
را تعریف می کنیم، آن گاه مرکز گراف می باشد.

برهان : برای این که نشان دهیم که رئوس مجموعه‌ی مرکز در اجتماع بالا می باشند باید هر عضوی که درآن می گیریم به فاصله کمتراز 2 ازدیگر رئوس گراف قرار داشته باشد.

عضو دلخواه a را از مجموعه رئوس درنظر می گیریم : a=(a1,…,an,b1,…,bm) که با توجه به نتیجه‌ی 9.1.2 کافی است نشان دهیم :



به ازای هر I=1,…,n فرض می کنیم Mi یک ایده آل ماکسیمال Ri باشد. پس

و فرض می کنیم x=(x1,…,xn,0,…,0) که می باشد.

بدون کاسته شدن از کلیت مسأله: رادر نظر می گیریم. چون یک یال بین آنها موجود است طبق تعریف گراف :

if Vi xiai=0 d(x,a)=1

پس و حکم ثابت می شود. چون بوده پس در اجتماع بالا قرار دارد. حال فرض کنیم :

چون Rj حلقه‌ی موضعی می باشد پس radius، بنابراین با e(yj)=1 وجود دارد.

تعریف می کنیم y=(0,…,0,yj,0,…,0) که و و و و x-y-a یک مسیر در می باشد. اگر و aj=1 آن گاه به ازای هر ، bk=0 می باشد.

اکنون z=(0,…,0,1,0,..,0) را در نظر می گیریم که درایه های غیرصفر Fk همانی اند و پس x-z-a یک مسیر در می باشد بنابراین درهردو حالت .

حال فرض کنیم به ازای هر j=1,..,m بدون کاسته شدن از کلیت مسأله درنظر می گیریم.



و a=(a1,…,an,b1,…,bm) اگر bj=0 آن گاه va=0 و d(v,a)=1 . اگر bk=. برای هر آن گاه تعریف می کنیم y=(0,…,0,1,0,…,0) که درایه غیر صفر Fk همانی می باشد و پس v-y-a یک مسیر در می باشدو اگر پس درایه ah برای یک مقسوم علیه صفر Rh می باشد.

پس وجود دارد به طوری که chah=0 و c=(0,…,ch,0,..,0) و پس r-c-a یک مسیر در است و d(a,v)=2 پس در تمامی حالات وحکم ثابت می شود.

حال فرض می کنیم z=(d1,…,d­n,F1,…,Fm) عضوی از اجتماع بالا نباشد نشان می‌دهیم در مرکز گراف قرار ندارد. یعنی اگر باشد آن گاه . پس طبق نتیجه 4-2 باید و ann(w)nann(z)={0}

حالت اول :

تعریف می کنیم w=(1,…,1,0,1,..,1) که صفر درمکان n+i ام قرار دارد. پس و ann(w)=Ii پس ann(w) ann(z)={0}

حالت دوم : به ازای هر di از Ri همانی باشد. t رامقسوم علیه صفر غیرصفری از R1 و w=(1,…,1,t,1,..,1) پس

درنتیجه ann(w)ann(z)={0}



– میانه

تعریف 1.3.2 برای هر راس x از گراف همبند G ، status x را که با نماد s(x) نشان داده می شود، مجموع فاصله های x از رئوس گراف می باشد که به صورت : نوشته می شود.

تعریف 2.3.2 مجموعه ای از رئوس با status می نیمال میانه گراف نامیده می شود. (خواهیم گرفت اگر Gیال نداشته باشد میانه‌ی گراف v(G),G می باشد و حالتی که مجموعه‌ی رئوس گراف تهی باشد رابررسی نمی کنیم)

status روی گراف های متناهی معنی پیدا می کند. پس در سراسر این بخش تمامی حلقه ها متناهی درنظر گرفته می شوند پس گراف های مقسوم علیه صفر نیز متناهی می باشند.

اگر چه مرکز و میانه به عنوان مرکزیت یک گراف ارتباط دارند ولی لزومی ندارد بریکدیگر منطبق باشند. ممکن است مرکز زیر مجموعه محض از میانه باشد یا میانه زیر مجموعه‌ی محض از مرکز، درحقیقت برای هر عدد حقیقی مثبت n می توان گرافی همبند ساخت با تعداد متناهی رأس به طوری که فاصله هر رأس از مرکز به فاصله هر رأس از میانه حداقل n باشد.

به طور کلی پیدا کردن میانه ی گراف مشکل تر از یافتن مرکز گراف می باشد . قضیه‌ای که در ادامه آمده است ارتباط بین مرکز و میانه را در مورد گراف های مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی ویکدار متناهی بیان می کند.

می دانیم که با توجه به تعریف گراف مقسوم علیه صفر

اگر deg(x) = x2=0

deg(x) = در غیر اینصورت

قضیه 4.3.2 - فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار متناهی باشد که حوزه صحیح نمی باشد . اگر شعاع حداکثر 1 باشد آن گاه میانه و مرکز مساویند واگر شعاع 2 باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز است.

برهان: اگر شعاع صفر باشد پس گراف تنها دارای یک رأس می باشد که هم در مرکز هم در میانه قرار دارد پس میانه و مرکز مساویند.

اگر شعاع 1 باشد مجموعه ی رئوس مرکز و میانه برابرند پس مرکز و میانه در این حالت هم بر هم منطبق می باشند .

فرض می‌کنیم شعاع 2 باشد آن گاه با توجه به نتیجه –R . 9.1.2 موضعی نیست و با یکریخت نمی باشند که در آن K میدان متناهی است . فرض کنید یک تجزیه آرتینی از حلقه ی R می باشد ( بدون کاسته شدن از کلیت مسأله عناصری از R را که در این حاصل ضرب قرار دارند را بررسی می کنیم) فرض Z یک رأس از باشد که در مرکز گراف قرار ندارد و به صورت z=(a1,…,an,b1,…,bm) می باشد. در تمامی حالات ممکن یک رأس x متعلق به مرکز گراف وجود دارد به طوری که s(x)


تساوی (*) نشان می دهد که همه ی رأس های میانه باید دارای درجه ی یکسان باشند . چون z در مرکز قرار ندارد پس رأس w موجود است به طوری که d(zw)=3 بنابراین:

حالت 1/ : اگر و برای هر . فرض کنید x=(0,..,0,1,0,..,0)

که مؤلفه‌ی غیر صفر fi همانی می باشد ، آن گاه x در مرکز است و
ann(z) ann(x) از آن جا که z و x پوچ توان نیستند نتیجه می گیریم که:



(چون اگر پوچ توان بودند ( deg(x) = -2 پس تا اینجا داریم :

deg (z) < deg(x) . . با توجه به رابطه(*) و(**) داریم :

s(z) > 21z(R)* 1-deg (z) –2 > 21z(R)* 1 –deg (x) –2 =s(x) s(z) >s(x)

حالت2:/ اگربرای و هر با برای (که Mi ایده آل ماکسیمال Ri است ) فرض کنیدx= (0,..,0,ak,0,..,0) باشد که x در مرکز قرار دارد . و پس



بنابراین .با توجه به (*) و (**) داریم : s(z)>s(x) . .

حالت 3/: اگر به ازای هر ، ai درRi همانی باشد ، فرض کنید c یک عضو غیر صفر از ایده آل های ماکسیمال Ri باشد x=(0,…,0,C,0,…,0) که در مرکز قرار دارد و . بنابراین



در نتیجه با توجه به (*) و (**) : s(z) > s(x) .

بنابراین در تمامی حالات ممکن یک رأس x از مرکز وجوددارد که s(x) < s(z) پس z نمی تواند در میانه باشد پس میانه زیر مجموعه ای از مرکز است .

نتیجه 5.3.2فرض کنید R یک حلقه ی جابجایی و یکدار متناهی باشد که حوزه صحیح نیست . اگر شعاع ، 2 باشد آن گاه مرکز و میانه برابرند اگر و تنها اگر R با حاصل ضرب مستقیمی از تعداد متناهی از کپی ها از میدان متناهی واحد یکریخت باشد .( یعنی که F میدان متناهی واحد و می باشد)

برهان: روند اثبات به این صورت است که اگر برای میدان متناهی F و آن گاه مرکز و میانه هردو دقیقا شامل عناصری از Fd هستند که d-1 مولفه ی آن صفر می باشد . از آن جا که شعاع ,2 می باشد پس مانند قضیه

1-4تجزیه ی آرتین R را بصورت زیر در نظر می گیریم ابتدا نشان می‌دهیم که اگر (یعنی فاکتورهایی در تجزیه ی آرتینی موجودند که میدان نمی باشند) آن گاه مرکز و میانه مساوی نمی باشند.

فرض کنید و برای هر j و برای هر i فرض کنید : w=(0,0,…,1)که در مرکز قرار دارد . از آنجا که



آن گاه deg (w) = r1…rnc1…cm-1-1

R1 موضعی و M1 تنها ایده آل ماکسیمال R1 و را طوری در نظر می گیریم که خروج از مرکز ، 1 باشد . فرض کنید x=( z, 0 , … , 0 ) که در مرکز قرار دارد .



فرض کنید آن گاه deg(x)=kr2…rnc1…cm-2 چون annR1(z) یک ایده آل R1 است را عاد می کند فرض می‌کنیم r1=sk برای مقدار حقیقی s . حالا اگر میانه مساوی با مرکز باشد آ ن گاه deg(w) = deg(x) پس :

skr2…rnc1…cm-1-1= kr2…rnc1…cm-2

بعد از خلاصه کردن و فاکتور گیری داریم :

k(r2…rnc1­…cm-1)(s-cm)=-1

ولی ما در نظر گرفتیم پس به تناقض رسیدیم بنابراین تجزیه آرتینی از R نباید عامل غیر میدان داشته باشد . و هم چنین این روندی برای اثبات این مطلب است که میدان ها باید کار دینالیته یکسان داشته باشند .

بعد از شرح قضیه 4.3.2 و نتیجه 5.3.2اکنون چند مثال را بررسی می‌کنیم . در مواردی که میدان تحویل یافته داریم اگر مرکز و میانه مجموعه ی تمام رئوس می باشند . اگر آن گاه مرکز و میانه مجموعه {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} می‌باشند ( به شکل 2 ، صفحه 26 ) نگاه کنید . اگر مرکز و میانه {(0و2)و(0و1)} می باشد . در مواردی که میدان تحویل ناپذیر باشد اگر آن گاه مرکز ، {(0,1),(2,0)} و میانه {(0,1)}می باشد ( به شکل 1 ، صفحه 26 ) نگاه کنید . توجه کنید که دو مثال آخر نشان می دهد فقط در بعضی از موارد عناصری از میانه پوچ توان خواهند بود .

تحقیق مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائیپژوهش مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائیمقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائیدانلود تحقیق مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجائیمجموعه‌های مرکزی