فایل بای | FileBuy

مرجع خرید و دانلود گزارش کار آموزی ، گزارشکار آزمایشگاه ، مقاله ، تحقیق ، پروژه و پایان نامه های کلیه رشته های دانشگاهی

فایل بای | FileBuy

مرجع خرید و دانلود گزارش کار آموزی ، گزارشکار آزمایشگاه ، مقاله ، تحقیق ، پروژه و پایان نامه های کلیه رشته های دانشگاهی

بررسی تعریف نوسان

تعریف نوسان یک حرکت رفت و برگشتی ساده می باشد که در زمانهای مساوی عیناً تکرار می شود (مثل شخصی که تاب بازی می‌کند) این حرکت حول یک نقطه بنام مرکز نوسان صورت می پذیرد و همواره نیرویی (مثل نیروی فنر) می خواهد نوسانگر را به مرکز نوسان باز گرداند
دسته بندی ریاضی
فرمت فایل doc
حجم فایل 938 کیلو بایت
تعداد صفحات فایل 100
بررسی تعریف نوسان

فروشنده فایل

کد کاربری 8044

تعریف نوسان: یک حرکت رفت و برگشتی ساده می باشد که در زمانهای مساوی عیناً تکرار می شود (مثل شخصی که تاب بازی می‌کند). این حرکت حول یک نقطه بنام مرکز نوسان صورت می پذیرد و همواره نیرویی (مثل نیروی فنر) می خواهد نوسانگر را به مرکز نوسان باز گرداند.

در موقعیت 0 وزنه با بیشترین سرعت رو به بالا حرکت می کند و در موقعیت p متوقف می شود و فنر کاملاً فشرده می گردد اکنون وزنه بیشترین فاصله تا مرکز نوسان را دارد و فنری که فشرده شده وزنه را رو به پایین هل می دهد وزنه در موقعیتq دارای بیشترین سرعت رو به پایین است و در این موقعیت هیچ فاصله ای تا مرکز نوسان ندارد. در موقعیت m (مشابه موقعیت p) وزنه دارای بیشترین فاصله تا مرکز نوسان است اما متوقف می باشد و سپس در موقعیت n (مشابه موقعیت 0,q) مجدداً به مرکز نوسان باز می گردد اگر این موقعیتها را (مانند نوار قلبی) به هم وصل کنیم یک شکل موج سینوسی ساخته می شود که چگونگی حرکت وزنه را نشان می دهد.

تعریف بعد: فاصله نوسانگر (وزنه) را در هر لحظه تا مرکز نوسان نشان می دهد مثلاً در موقعیتهای (n,q,0) بعد صفر است زیرا در مرکز نوسان هستیم و در موقعیتهای (m,p) بیشترین بعد را داریم.

تعریف دامنه: بیشترین فاصله نوسانگر تا مرکز نوسان (موقعیتهای m,p) می باشد که به آن بعد بیشینه یا دامنه می گوییم و آنرا با نماد A نشان می دهیم ymax=A پس یک دامنه مثبت در بالا و یک دامنه منفی در پایین داریم.

تعیین علامتها: دیدیم که یک شکل موج سینوسی چگونه تشکیل می شود این شکل را به چهار ربع فرضی مساوی تقسیم می کنیم (هر ربع 90 درجه است) و قراردادهای زیر را در نظر می گیریم.

1- هرگاه نوسانگر بالای محور تعادل باشد (مثل ربعهای اول و دوم) بعد مثبت است و اگر زیر محور تعادل باشد (مثل ربعهای سوم و چهارم) بعد منفی است.

2- هرگاه نوسانگر رو به بالا حرکت کند سرعتش مثبت است مثل ربهای اول و چهارم و هرگاه رو به پایین حرکت کند سرعتش منفی است مثل ربعهای دوم و سوم.

نتیجه گیری: هرجا بعد صفر است سرعت بیشینه است و برعکس یعنی بعد و سرعت از لحاظ اندازه همیشه متضاد هم هستند.

نتیجه گیری: در هر حرکت نوسانی بعد و سرعت هر کدام 2 بار صفر و یا 2 بار بیشینه می شوند برای شتاب و نیرو (که بعداً بحث می شوند) نیز همین طور است.

دایره مرجع: در حقیقت وزنه متصل به فنر در راستای قائم نوسان می کند و یک پاره خط را می سازد که دارای دو دامنه (در بالا و پایین) است. می توانیم برای حل سریعتر تستها از دایره مثلثاتی استفاده کنیم. همانطوری که می دانیم زاویه ها به صورت پاد ساعتگرد زیاد می شوند. به آن دایره مرجع می گوییم.


نتیجه گیری: به طور کلی هر پاره خط در هر حرکت نوسانی دوبار پیموده می شود یکبار در حالت رفت و بار دیگر در حالت بازگشت. (مطابق شکل بالا) پس می توان نوشت.

یک نوسان کامل = رفت + برگشت

مثلاً اگر نوسانگری 30 بار طول پاره خطی را بپیماید یعنی 15 دور کامل را طی کرده است.

یادآوری: 1- دوره تناوب: مدت زمانی که طول می کشد تا یک نوسان کامل انجام شود. در شکل زیر بازه های زمانی یک نوسان کامل را می بینیم.

2- بسامد: تعداد دورهایی که نوسانگر در یک ثانیه می زند فرکانس یا بسامد است با واحد هرتز:

J نکته 1 (فرمول تی ان تی):

H مثال 1: در شکل زیر نوسان گر 3 دور کامل را پیموده است. دوره تناوب و بسامد و بسامد زاویه ای آنرا بدست آورید.

بررسی معادله بعد-زمان: فرض کنید که وزنه در مرکز نوسان قراردارد و می‌خواهد رو به بالا حرکت کند (یعنی از موقعیت 1 تا 2 مطابق شکل) روی قطر قائم دایره مشاهده می کنیم که وزنه به اندازه y بالا می رود. از مرکز دایره تا نقطه 2 (به اندازه شعاع دایره) پاره خطی می کشیم و زاویه آنرا تا مرکز نوسان می نامیم.

وقتی نوسانگر در مبدا زمان (t=0) در مرکز نوسان باشد (موقعیت 1) بعد اولیه ندارد (y0=0) و فاز اولیه آن نیز صفر است

H مثال 2: نوسانگری در زمان یک دقیقه 15 دور کامل می زند. اگر طول پاره خط 3cm باشد و فاز اولیه صفر باشد معادله بعد زمان را نوشته و در بازه (1 تا 4) ثانیه بررسی کنید.

J نکته 2 (زوایای هم خانواده): تسلط بر این زوایا در مبحث نوسان بسیار مهم است. این زوایا دارای سینوسهای مساوی و هم علامت هستند (بشرطی که در ربع اول و دوم باشند. هرگاه از مخرج زوایای یکی کم کنیم و حاصل را در صورتشان ضرب کنیم زوایای هم خانواده آنها بدست می آید.

بررسی معادله بعد زمان: در بررسی معادله بعد زمان بدون فاز اولیه دیدیم که وزنه از مرکز نوسان شروع به حرکت نمود. اما اگر نوسانگر در لحظه t=0 در مرکز نوسان نباشد و تا مرکز نوسان زاویه بسازد دارای بعد اولیه و نیز فاز اولیه است. (موقعیت 1) سپس به اندازه تغییر فاز می دهد و زاویه اش به تبدیل می شود.

H مثال 3: اگر در یک حرکت نوسانی ساده، فاز حرکت در لحظه ثانیه معادل باشد و فاز اولیه باشد بسامد نوسان چند هرتز است؟

H مثال 4: معادله حرکت ذره ای در SI به صورت است. این ذره در زمان 20 ثانیه چند نوسان کامل انجام می‌دهد؟

J نکته 3:

H مثال 5: بعد اولیه یک حرکت سینوسی با دامنه 6cm و فاز اولیه چند سانتی‌متر است؟

H مثال 6: دوره یک حرکت سینوسی 4 ثانیه و دامنه آن 3cm است اگر فاز اولیه باشد بعد آن در لحظه ثانیه چند سانتی متر است؟

H مثال 7: ذره ای دارای حرکت نوسانی ساده با دامنه 4cm و دوره 2 ثانیه می باشد اگر در لحظه t=0 بعدش -2cm بوده و سرعتش مثبت باشد معادله حرکتش را تعیین کنید.

H مثال 8: ذره ای روی یک محور پاره خط به طول 8cm حرکت نوسانی ساده با دوره 0.48 ثانیه دارد، اگر در لحظه ثانیه فاصله ذره از مرکز نوسان سانتی متر و سرعتش مثبت باشد فاز اولیه آن را تعیین کنید.

نیم دایره های طلایی: بین زمانها و زاویه های پیموده شده تناسب وجود دارد مثلاً یک دوره تناوب هم ارز 360 درجه است .

360

270

180

90

60

45

30

15

زاویه (درجه)

زاویه (رادیان)

T

هم ارز زمان

به عنوان یک قاعده ساده هرگاه مخرج زوایا برحسب رادیان را ضربدر 2 کنیم هم ارز زمانی آنها تعیین می شود مثل .

در شکلهای زیر زاویه های مهم و فاصله بین آنها را تعیین کرده ایم.

J نکته 4: هرگاه لحظه صفر یا بیشینه شدن بعد یا سرعت را بخواهیم ابتدا تعیین می‌کنیم که فاز اولیه چیست و سپس فاز نهایی را تعیین می کنیم و از رابطه و یا از تناسب استفاده می کنیم و یادآوری می کنیم که در فاز سرعت صفر و بعد بیشینه است و در فاز سرعت بیشینه و بعد صفر است و الی آخر.

H مثال 9: در یک حرکت نوسانی به معادله چند ثانیه پس از لحظه t=0 برای اولین بار بعد حرکت بیشینه می‌شود.

H مثال 10: یک حرکت نوسانی به معادله پس از گذشت چند ثانیه مقدار بعد برای اولین بار پس از لحظه t=0 صفر می شود؟

J نکته 5: این نکته به ما می آموزد که چگونه تستهای دشوار و پارامتری را براحتی حل کنیم. در زوایای هم خانواده بعد همیشه نصف دامنه است در زوایای هم خانواده بعد دامنه و در زوایای بعد دامنه است

دقت کنید که همیشه 4 نقطه روی دایره مثلثاتی وجود دارند که هم خانواده هستند مثلاً در زوایای و و منفی آنها همیشه بعد نصف دامنه است

H مثال 11: اگر 6 ثانیه طول بکشد تا نوسانگری از موقعیت برای اولین بار به موقعیت و سرعت منفی برسد دوره حرکت چند ثانیه است؟

H مثال 12: نوسانگر ساده ای در یک لحظه بعدش و ثانیه بعد و ثانیه سپس از این - می شود نسبت کدام است؟

معادله سرعت زمان: هرگاه از معادله بعد زمان مشتق بگیریم معادله سرعت زمان بدست می آید دقت کنید که همیشه پشت عبارت مثلثاتی مقدار ماکزیمم تابع قرار دارد. یک عدد است و مشتق آن صفر است.

یادآوری: وقتی نوسانگر از مرکز نوسان می گذرد سرعتش بیشینه است و وقتی به دو انتهای مسیر می رسد سرعتش صفر می شود پس هرگاه به مرکز نوسان نزدیک شود حرکتش تند شونده و هرگاه دور شود کند شونده است.

H مثال 13: معادله حرکت یک نوسان کننده در SI، است. سرعت نوسان کننده در لحظه ثانیه چند متر بر ثانیه است؟

H مثال 14: معادله سرعت نوسانگری در SI، به صورت می باشد در لحه ثانیه فاصله نوسانگر از مرکز نوسان چند سانتی متر است؟ (آزاد ریاضی 82)

H مثال 15: در حرکت نوسانی که از مکانهای مثبت آ‎غاز می‌شود اندازه سرعت در لحظه t=0.08 ثانیه برای اولین بار ماکزیمم می شود فاز اولیه نوسانگر را تعیین کنید.

فرمول مستقل از زمان: هرگاه سرعت نوسانگر در موقعیتی خاص و بدون داشتن زمان خواسته شود از رابطه زیر استفاده می کنیم که علامت مثبت برای حرکت رو به بالای وزنه و منفی برای حرکت رو به پایین است.

H مثال 16: بسامد زاویه نوسانگر ساده ای و دامنه نوسان آن 5cm است. سرعت این نوسانگر در لحظه ای که تا مرکز 4cm فاصله دارد چند متر بر ثانیه است؟ (آزاد ریاضی 82)

معادله شتاب زمان: اگراز معادله سرعت مشتق بگیریم، معادله شتاب بدست می‌آید. بازهم دقت کنید که پشت عبارت مثلثاتی مقدار ماکزیمم تابع (شتاب بیشینه) قرار دارد.

بررسی شتاب: به طور کلی نیروی فنر باعث ایجاد شتاب وزنه متصل به آن می‌شود بدیهی است وقتی که فنر بیشترین فشردگی یا بیشترین باز شدگی را (در ابتدا و انتهای مسیر) داشته باشد بیشترین نیرو را خواهد داشت و شتابش بیشینه است. وقتی فنر دارای طول عادی می شود (در مرکز نوسان) هیچ نیروی کشسانی ندارد سپس شتاب در مرکز نوسان صفر می شود.

نتیجه گیری: با مقایسه روابط بعد و شتاب به این نتیجه می رسیم که هر دو معادله سینوسی ولی با علامت قرینه هستند. بنابراین می‌توان گفت: 1- در تمام نقاط مسیر بعد با شتاب متناسب است. 2- در همه جا بعد و شتاب از نظر علامتی قرینه هم می‌باشند مثلاً در ربع اول و دوم که بعد مثبت است شتاب منفی است.

H مثال 17: معادله حرکت ذره ای در SI به صورت می‌باشد شتاب این ذره در لحظه ثانیه چند متر بر مجذور ثانیه است؟ (آزاد ریاضی 83)

H مثال 18: در یک حرکت نوسانی ساده با دوره ثانیه، بیش ترین مقدار شتاب را تعیین کنید به شرطی که سرعت عبور وزنه هنگام عبور از وضع تعادل باشد؟

فرمول مستقل از زمان: با مقایسه دو رابطه زیر می بینیم که اگر را در معادله بعد ضرب کنیم معادله شتاب بدست می آید.

H مثال 19: در یک حرکت نوسانی معادله شتاب در SI به صورت می باشد دوره نوسان چند ثانیه است؟

معادله نیرو زمان: قبلاً نیز اشاره کردیم که در مرکز نوسان چون فنر طول عادی خود را دارد پس نیرویش صفر است اما در بالاترین و پایین ترین نقطه نیرو بیشینه است.

H مثال 20: ذره ای به جرم 2gr حرکت نوسانی ساده با دامنه 5cm انجام می دهد. اگر بیشینه سرعت ذره معادل باشد بیشینه نیروی وارد بر آن چند نیوتن است؟

دوره وزنه متصل به فنر: اگر وزنه ای به جرم M را به یک فنر قائم بیاویزیم فنر بدلیل خاصیت کشسانی شروع به نوسان می کند هرچه وزنه آویخته شده سنگین تر باشد دوره تناوب بیشتر است یعنی مدت زمان بیشتری طول می کشد تا یک نوسان کامل انجام شود. اما هرچه ثابت فنر بیشتر باشد دوره تناوب کم می شود یعنی وزنه سریعتر حرکت می کند.

J نکته 6: چون در رابطه بالا عامل شتاب جاذبه یعنی g وجود ندارد بنابراین اگر وزنه متصل به فنر را درون یک سفینه فضایی یا کره ماه ببریم دوره آن فرقی نمی کند.

ثابت فنر: می توانیم رابطه فوق را به صورت زیر نیز نوشته و ثابت فنر را بدست آوریم:

¤


H مثال 21: به انتهای یک فنر با جرم ناچیز وزنه 500 گرمی می آویزیم و آن را در راستای قائم و دامنه کم به نوسان در می آوریم. اگر ثابت فنر باشد وزنه در هر دقیقه چند نوسان کامل انجام می دهد؟ (سراسری ریاضی 83)

J نکته 7:

H مثال 22: در شکل مقابل وزنه به حالت تعادل قرار دارد. اگر آنرا 10cm به آرامی پایین بکشیم و رها کنیم سرعت وزنه در لحظه ای که پس از رها شدن 2cm بالا رفته است، چند متر بر ثانیه می باشد

J نکته 8:

H مثال 23: وزنه M را به یک انتهای فنری با ثابت K می آویزیم دوره تناوب T می‌شود، سپس فنر را نصف می کنیم و به یکی از قسمتهای بریده شده وزنه 4M را می‌آویزیم دوره تناوب می شود نسبت چند است؟

تکلیف

انرژیها: 1- انرژی جنبشی: می دانیم که این نوع انرژی با سرعت نسبت مستقیم دارد پس انرژی جنبشی در ابتدا و انتهای مسیر صفر و در مرکز نوسان (بدلیل بیشینه بودن سرعت) ماکزیمم مقدار را دارد.

در ضمن رابطه دیگری نیز بین بعد و انرژی جنبشی وجود دارد که منظور از ثابت فنر است.

J نکته 9 (حسودی طرفین رابطه ها از نوع ماکزیممی): در کلیه روابط فیزیکی هرگاه یکی از طرفین رابطه دارای کمیتی ماکزیمم دار باشد طرف دیگر هم دارای ماکزیمم می شود مثلاً اگر در رابطه مقدار سرعت، بیشینه شود انرژی جنبشی هم بیشینه می‌شود.

H مثال 24: اگر گلوله ای به جرم 20 گرم دارای حرکت نوسانی ساده به معادله باشد بیشینه انرژی جنبشی آن چند ژول است؟

2- انرژی پتانسیل: می دانیم که انرژی پتانسیل کشسانی یک فنر در موقعیتی به حداکثر خود می رسد که بیشترین تغییر طول را در فنر داشته باشیم پس انرژی پتانسیل در ابتدا و انتهای مسیر بیشینه و در مرکز نوسان صفر است.

ثابت فنر: K

(ymax=A) طبق نکته 9 می توان نوشت

انرژی کل یا انرژی مکانیکی: مجموع انرژی های جنبشی و پتانسیل می باشد که در تمام نقاط مسیر انرژی مکانیکی ثابت است اما هرچه به طرف مرکز نوسان برویم از انرژی پتانسیل کاسته شده و به همان میزان به انرژی جنبشی افزوده می شود.

اگر به شکل زیر توجه کنید می بینید که هرجا انرژی پتانسیل صفر است.

انرژی جنبشی بیشینه است و بالعکس پس هر کدام از انرژی های جنبشی یا پتانسیل که بیشینه شوند خودشان به تنهایی انرژی کل هستند.

پس انرژی کل دارای 2 رابطه است که برحسب نیاز استفاده می شود.

و یا

H مثال 25: یک ذره به جرم 2 گرم دارای حرکت نوسانی با دامنه متر است. اگر انرژی مکانیکی ذره 0.064 ژول باشد دوره حرکت آن چند ثانیه است؟

H مثال 26: در لحظه ای که بعد یک نوسانگر بعد ماکزیمم آن است، انرژی پتانسیل چند برابر انرژی کل است؟ انرژی جنبشی چند برابر انرژی کل است؟

H مثال 27: در لحظه ای که انرژی جنبشی نوسانگر ساده 8 برابر انرژی پتانسیل آن است. بعد نوسانگر چه کسری از دامنه نوسان می‌باشد؟ (آزاد ریاضی 82)


J نکته 10:

H مثال 28: در لحظه ای که فاز حرکت یک نوسان گر است انرژی جنبشی آن 0.02 می باشد. انرژی مکانیکی نوسانگر چند ژول است؟

نتیجه گیری: به طور کلی کمیتهای بعد و شتاب و نیرو و انرژی پتانسیل همگی تابع سینوس هستند اما سرعت و انرژی جنبشی تابع کسینوس می باشند.

تشدید: اگر به نوسانگر یک نیروی دوره ای اعمال شود و بسامد نیرو با بسامد نوسانگر یکسان باشد (مثلاً وقتی شخصی را روی یک تاب هل می دهیم) دامنه نوسان تا مقدار بیشینه ای افزایش می یابد و از آن پس حرکت نوسانی بدون کاهش دامنه ادامه می یابد در مورد آونگ ها اگر هم طول باشند دوره تناوب و بسامد آنها نیز با هم برابر بوده و می توانند تشدید انجام دهند.

بررسی نمودارها: به طور کلی چون رابطه سرعت کسینوسی است پس هنگامیکه می خواهیم نمودار سرعت زمان را از روی بعد زمان ترسیم کنیم باید آنرا جلوتر ببریم و چون معادله شتاب منفی سینوسی است بنابراین به اندازه از نمودار سرعت جلوتر بوده و به اندازه از نمودار بعد جلوتر است.

تعیین معادله از روی نمودار: همیشه نمودار (بعد- زمان) از نقطه ای بنام y0 شروع می شود. باید ببینیم که محور Yها کدام ربع را قطع کرده است پس در همان ربع قرار دارد و یا می توانیم با (توجه به جهت شیب نمودار) علامت سرعت را تعیین کرده و با توجه به علامت y0 ربعی که مربوط به می شود را حدس بزنیم مثلاً اگر y0 منفی باشد یا ربع سوم و یا ربع چهارم است به عنوان مثال در شکل های زیر را در 4 ربع مختلف نشان داده ایم.